Question

【題目】綜合與實踐四邊形旋轉中的數學

“智慧”數學小組在課外數學活動中研究了一個問題，請幫他們解答．

任務一：如圖1，在矩形ABCD中，，，E，F分別為AB，AD邊的中點，四邊形AEGF為矩形，連接CG．

請直接寫出CG的長是______．

如圖2，當矩形AEGF繞點A旋轉比如順時針旋轉至點G落在邊AB上時，請計算DF與CG的長，通過計算，試猜想DF與CG之間的數量關系．

當矩形AEGF繞點A旋轉至如圖3的位置時，中DF與CG之間的數量關系是否還成立？請說明理由．

任務二：“智慧”數學小組對圖形的旋轉進行了拓展研究，如圖4，在ABCD中，，，，E，F分別為AB，AD邊的中點，四邊形AEGF為平行四邊形，連接“智慧”數學小組發現DF與CG仍然存在著特定的數量關系．

如圖5，當AEGF繞點A旋轉比如順時針旋轉，其他條件不變時，“智慧”數學小組發現DF與CG仍然存在著這一特定的數量關系請你直接寫出這個特定的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）．（3）成立，詳見解析.(4).

【解析】

延長EG交CD于H，則四邊形FGHD是矩形在中，利用勾股定理即可解決問題；

作于利用勾股定理相似三角形的性質，分別求出CG、DF即可解決問題；

連接AG、只要證明∽，可得即可解決問題；

通過計算即可解決問題.

如圖1中，延長EG交CD于H，則四邊形FGHD是矩形．

在中，，，

．

故答案為5．

如圖2中，作于P．

在矩形AEGF中，，，

，，

在中，，

由∽，可得，

，

，，，

在中，，

．

成立理由如下：連接AG、AC．

由旋轉可知：，

由勾股定理可知：，，

，，

，

∽，

，

．

如圖4中，延長EG交CD于H，作于K．

由題意可知四邊形FGHD是平行四邊形，四邊形AEGF是平行四邊形，

，，，，

在中，，，，

在中，，

．

在圖5中，連接AG、同法可證：∽，可得：，可得．