Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠C＝90°，延長CA至點D，使AD＝AB．設F為線段AB上一點，連接DF，以DF為斜邊作等腰Rt△DEF，且使AE⊥AB．

（1）求證：AE＝AF+BC；

（2）當點F為BA延長線上一點，而其余條件保持不變，如圖2所示，試探究AE、AF、BC之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE+AF＝BC．理由見解析

【解析】

（1）過D作DM⊥AE于M，在△DEM中，由余角的定義得到∠DEM+∠EDM＝90°，由于∠DEM+∠AEF＝90°，推出∠AEF＝∠EDM證得△DEM≌△EFA，根據全等三角形的性質得到AF＝EM，根據三角形的內角和和余角的定義得到∠EAD＝∠B，推出△DAM≌△ABC，根據全等三角形的性質得到BC＝AM即可得到結論；

（2）如圖2，過D作DM⊥AE交AE的延長線于M，根據余角的定義和三角形的內角和得到∠EAD＝∠B，證得△ADM≌△BAC，由全等三角形的性質得到BC＝AM，由于EF＝DE，∠DEF＝90°，推出∠AEF＝∠MDE，證得△MED≌△AFE，根據全等三角形的性質得到ME＝AF，即可得到結論．

（1）證明：如圖1，過D作DM⊥AE于M，在△DEM中，∠DEM+∠EDM＝90°，

∵∠DEM+∠AEF＝90°，

∴∠AEF＝∠EDM，

∵DE＝FE，

在△DEM與△EFA中，

，

∴△DEM≌△EFA（AAS），

∴AF＝EM，

∵∠BAC+∠B＝90°，

∵∠EAD+∠EAB+∠BAC＝180°，

∴∠EAD+∠BAC＝90°，

∴∠EAD＝∠B，

在△DAM與△ABC中，

，

∴△DAM≌△ABC（AAS），

∴BC＝AM，

∴AE＝EM+AM＝AF+BC；

（2）解：AE+AF＝BC．理由如下：

如圖2，過D作DM⊥AE交AE的延長線于M，

∵∠C＝90°，

∴∠BAC+∠B＝90°，

∵∠EAD+∠MAB+∠BAC＝180°，∠MAB＝90°，

∴∠EAD+∠BAC＝90°，∠EAD＝∠B，

在△ADM與△BAC中，

，

∴△ADM≌△BAC（AAS），

∴BC＝AM，

∵EF＝DE，∠DEF＝90°，

∵∠MED+∠DEF+∠AEF＝180°，

∴∠MED+∠AEF＝90°，

∵∠MED+∠MDE＝90°，

∴∠AEF＝∠MDE，

在△MED與△AFE中，

，

∴△MED≌△AFE（AAS），

∴ME＝AF，

∴AE+AF＝AE+ME＝AM＝BC，

即AE+AF＝BC．