Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B兩點，與y軸交于點C （0，3），點P在該拋物線的對稱軸上，且縱坐標為2．

（1）求拋物線的表達式以及點P的坐標；

（2）當三角形中一個內角α是另一個內角β的兩倍時，我們稱α為此三角形的“特征角”．

①當D在射線AP上，如果∠DAB為△ABD的特征角，求點D的坐標；

②點E為第一象限內拋物線上一點，點F在x軸上，CE⊥EF，如果∠CEF為△ECF的特征角，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；點P（1，2）；（2）①D（0，）或（3，4）；②點E（，）．

【解析】

（1）拋物線y＝﹣x2+bx+c與y軸交于點C （0，3），則c＝3，將點A的坐標代入拋物線表達式并解得：b＝2，即可求解；

（2）①當α＝60°，∠DBA＝β＝30°時，△ABD為直角三角形，即可求解；當∠ADB＝β時，則∠ABD＝90°，即可求解；

②∠CEF為△ECF的特征角，則△CEF為等腰直角三角形，則△CNE≌△EMF（AAS），即可求解．

解：

（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與y軸交于點C（0，3），則c＝3，

將點A的坐標代入拋物線表達式并解得：b＝2，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3；

點P（1，2）；

（2）由點A、P的坐標知，∠PAB＝60，

直線AP的表達式為：y＝（x+1）…①，

當α＝60，∠DBA＝β＝30時，

△ABD為直角三角形，由面積公式得：

yD×AB＝ADBD，即yD×4＝2×2，

解得：yD＝，

點D在AP上，故點D（0，）；

當∠ADB＝β時，則∠ABD＝90，

故點D（3，4）；

綜上，點D的坐標為：（0，）或（3，4）；

（3）∠CEF為△ECF的特征角，則△CEF為等腰直角三角形，

過點E分別作x軸、y軸的垂線交于點M、N，

則△CNE≌△EMF（AAS），

則EN＝EM，即x＝y，

x＝y＝﹣x2+2x+3，解得：x＝；

故點E（，）．