Question

【題目】如圖（1），在平面直角坐標系中，A（a，0），C（b，2），過C作CB⊥x軸，且滿足（a+b）2+ =0．

（1）求三角形ABC的面積．
（2）若過B作BD∥AC交y軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，如圖2，求∠AED的度數．
（3）在y軸上是否存在點P，使得三角形ABC和三角形ACP的面積相等？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵（a+b）2≥0， ≥0，

∴a=﹣b，a﹣b+4=0，

∴a=﹣2，b=2，

∵CB⊥AB

∴A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2）

∴三角形ABC的面積= ×4×2=4

（2）解：∵CB∥y軸，BD∥AC，

∴∠CAB=∠ABD，

∴∠3+∠4+∠5+∠6=90°，

過E作EF∥AC，

∵BD∥AC，

∴BD∥AC∥EF，

∵AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，

∴∠3=∠4=∠1，∠5=∠6=∠2，

∴∠AED=∠1+∠2= ×90°=45°

（3）解：存在．理由如下：

設P點坐標為（0，t），直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（﹣2，0）、C（2，2）代入得 ，

解得 ，

∴直線AC的解析式為y= x+1，

∴G點坐標為（0，1），

∴S△PAC=S△APG+S△CPG= |t﹣1|2+ |t﹣1|2=4，解得t=3或﹣1，

∴P點坐標為（0，3）或（0，﹣1）．

【解析】（1）根據非負數的性質得到a=﹣b，a﹣b+4=0，解得a=﹣2，b=2，則A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2），即可計算出三角形ABC的面積=4；（2）由于CB∥y軸，BD∥AC，則∠CAB=∠ABD，即∠3+∠4+∠5+∠6=90°，過E作EF∥AC，則BD∥AC∥EF，然后利用角平分線的定義可得到∠3=∠4=∠1，∠5=∠6=∠2，所以∠AED=∠1+∠2= ×90°=45°；（3）先根據待定系數法確定直線AC的解析式為y= x+1，則G點坐標為（0，1），然后利用S△PAC=S△APG+S△CPG進行計算．