Question

【題目】如圖，在矩形中，，．如果點由點出發沿方向向點勻速運動，同時點由點出發沿方向向點勻速運動，它們的速度分別為和．過點作，分別交、于點和，設運動時間為．

（1）連結、，若四邊形為平行四邊形，求的值；

（2）連結，設的面積為，求與的函數關系式，并求的最大值；

（3）若與相似，求出的值．

Answer 1

【答案】（1）t＝2；（2）y有最大值，當t＝2時，y的最大值為3；（3）t的值為：2或或

【解析】

（1）通過計算發現EQ＝FQ＝6，由此即可證明．

（2）構建二次函數，利用二次函數的性質解決最值問題．

（3）分兩種情形討論，Ⅰ、如圖1中，點E在Q的左側．①當△EPQ∽△ACD時，②當△EPQ∽△CAD時，列出方程分別求解即可．Ⅱ、如圖2中，點E在Q的右側，只存在△EPQ∽△CAD列出方程即可解決．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，FQ⊥BC

∴∠ADC＝∠DCB＝90°，∠FQC＝90°

∴四邊形CDFQ是矩形

∴FD＝QC

∴t秒后，BE＝2t，FD＝QC＝t

∴EQ＝BC﹣BE﹣QC＝8﹣3t

∵四邊形EQDF為平行四邊形

∴FD＝EQ 即：8﹣3t＝t

解得：t＝2

∴四邊形EQDF為平行四邊形時，t的值為2．

（2）∵∠FQC＝∠B＝90°

∴PQ∥AB

∴△CPQ∽△CAB

，即

∴y＝（8﹣2t）＝﹣2＋3t＝﹣（t﹣2）2＋3

∴y有最大值，當t＝2時，y的最大值為3．

（3）分兩種情況討論：

①若點E在FQ左邊

當△EPQ∽△ACD時，可得，即：

解得：t＝2

當△EPQ∽△CAD時，可得：，即

解得：

②若點E在FQ右邊

當△EPQ∽△ACD時，可得：，即：

解得：t＝4（舍去）

當△EPQ∽△CAD時，可得：，即

解得：

所以若△EPQ與△ADC相似，則t的值為：2或或．