Question

小明喜歡研究問題，他將一把三角板的直角頂點放在平面直角坐標系的原點O處，兩條直角邊與拋物線y=ax²（a＜0）交于A、B兩點．
（1）如圖1，當OA=OB=2時，則a=

-

2

2

；
（2）對同一條拋物線，當小明將三角板繞點O旋轉到如圖2所示的位置時，過點B作BC⊥x軸于點C，測得OC=1，求出此時點A的坐標；
（3）對于同一條拋物線，當小明將三角板繞點O旋轉任意角度時，他驚奇地發現，若三角板的兩條直角邊與拋物線有交點，則線段AB總經過一個定點，請直接寫出該定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數圖象的對稱性以及等腰直角三角形的性質求出點A的坐標，然后代入函數解析式，計算即可求出a的值；
（2）根據OC=1可知點B的橫坐標為1，再根據二次函數解析式求出點B的縱坐標，從而得到BC的長度，再過點A作推出AD⊥x軸于點D，然后推出△DAO與△COB相似，然后設出點A的坐標并表示出OD、AD的長度，根據相似三角形對應邊成比例列出比例式進行計算即可得解；
（3）根據二次函數解析式，設點A、B的坐標分別為A（m，-

2

2

m²）、B（n，-

2

2

n²），根據相似三角形對應邊成比例列式求出mn=2，再利用待定系數法列式求出直線AB的解析式，根據解析式的常數項是常數-

2

即可得解．

解答：解：（1）∵OA=OB=2，
∴等腰Rt△AOB關于y軸對稱，
∴點A的坐標為（-

2

，-

2

），
∴a（-

2

）²=-

2

，
解得a=-

2

2

；

（2）由（1）可知拋物線的解析式為y=-

2

2

x²，
∵OC=1，
∴y_B=-

2

2

，
∴B（1，-

2

2

），
過點A作AD⊥x軸于點D，又BC⊥x軸于點C，
∴∠ADO=∠BCO=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵AO⊥OB，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△DAO∽△COB，
∴

OD

BC

=

AD

OC

，
設點A坐標為（x，-

2

2

x²），則OD=-x，AD=-

2

2

x²，
∴

-x

2 2

=

2 2 x2

1

，
解得x=-2，
∴y_A=-2

2

，
故點A的坐標為（-2，-2

2

）；

（3）定點坐標是（0，-

2

）．
理由如下：根據（1）的結論，設點A、B的坐標為A（m，-

2

2

m²）、B（n，-

2

2

n²），
根據（2）△DAO∽△COB，
∴

OD

BC

=

AD

OC

，
即

-m

- 2 2 n2

=

- 2 2 m2

n

，
整理得，mn=-2，
設直線AB的解析式為y=kx+b，
則

km+b=- 2 2 m2 kn+b=- 2 2 n2

，
解得

k=- 2 2 (m+n) b= 2 2 mn

，
∴b=-2×

2

2

=-

2

，
∴三角板繞點O旋轉任意角度時，直線AB的傾斜發生變化，但總是與y軸相交于點（0，-

2

），
即線段AB總經過一個定點（0，-

2

）．

點評：本題是對二次函數的綜合考查，有等腰直角三角形的性質，坐標與圖形的變化，相似三角形的判定與性質，旋轉變換的性質，待定系數法求函數解析式，綜合性較強，難度較大．