Question

已知為橢圓的左，右焦點，為橢圓上的動點，且的最大值為1，最小值為-2.
（I）求橢圓的方程；
（II）過點作不與軸垂直的直線交該橢圓于兩點，為橢圓的左頂點。試判斷的大小是否為定值，并說明理由.

Answer 1

（I）  （II）定值.

解析試題分析：（I）M是橢圓上的點， 可以轉化為關于的二次函數，利用二次函數求最值，可求得橢圓方程中的參數和；（II）利用直線與圓錐曲線相交的一般方法，將直線方程與橢圓方程聯立方程組，利用韋達定理，求,繼而判定是否為定值.
試題解析：（I）,設，則，因為點在橢圓上，則，，又因為，所以當時，取得最小值，當時，取得最大值，從而求得，故橢圓的方程為;
（II）設直線的方程為,
聯立方程組可得，化簡得：,
設，則，又, ，由得,
所以,所以，所以為定值.
考點： 1、待定系數法求橢圓方程;  2、二次函數求最值 ; 3、直線與圓錐曲線相交的綜合應用.