Question

【題目】已知函數f（x）=|x+1|﹣|x|+a．
（1）若不等式f（x）≥0的解集為空集，求實數a的取值范圍；
（2）若方程f（x）=x有三個不同的解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令g（x）=|x+1|﹣|x|，則由題意可得f（x）≥0的解集為，即g（x）≥﹣a的解集為，

即 g（x）＜﹣a恒成立．

∵ ，作出函數g（x）的圖象，

由圖可知，函數g（x）的最小值為g（x）min=﹣1；函數g（x）的最大值為g（x）max=1．

∴﹣a＞1，∴a＜﹣1，

綜上，實數a的取值范圍為（﹣∞，﹣1）．

（2）解：在同一坐標系內作出函數g（x）=|x+1|﹣|x|圖象和y=x的圖象如下圖所示，由題意可知，

把函數y=g（x）的圖象向下平移1個單位以內（不包括1個單位）與y=x的圖象始終有3個交點，

從而﹣1＜a＜0．

【解析】（1）由題意可得即 g（x）＜﹣a恒成立，作出函數g（x）的圖象，求得函數g（x）的最大值為g（x）max=1，可得﹣a＞1，∴從而求得a的范圍．（2）在同一坐標系內作出函數g（x）=|x+1|﹣|x|圖象和y=x的圖象，由題意可知，把函數y=g（x）的圖象向下平移1個單位以內（不包括1個單位），則它與y=x的圖象始終有3個交點，從而得到a的范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解絕對值不等式的解法(含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號)．