Question

【題目】一個小球連接兩個相同的自然伸長的輕質彈性繩，彈性繩的遠端都固定起來，并且兩根彈性繩都位于一條直線上（如圖所示）．現在把小球在垂直于彈性繩初始直線方向向上拉開1cm，然后釋放，后讀出小球的振動周期為2s．問：拉開距離為2cm時，小球振動的周期為多少？（彈性繩自然長度，重力不計）

Answer 1

【答案】

【解析】

當小球沿垂直于彈簧所處的初始直線位置發生位移時，彈簧將由伸長至l，則

彈簧的伸長量為．

每根彈簧由此產生的彈力為．

則小球所受到的合力為．

小球受到的合力即為小球的回復力，這顯然不是線性的．小球運動對應的動力學方程為方程稱為非線性方程，它只有數值解，沒有解析解，但是，對于本問題，我們無需求解。

方法一：量綱分析

首先，我們來確定一下由上述動力學方程決定的小球的運動，其周期由哪些因素決定？

ⅰ與方程中的有關；

ⅱ與小球的振幅A有關．

而，．

因為，

所以，

所以，，

即，，

所以．

故由，，可得．

方法二：為了求出周期與振幅之間的關系，可以先利用機械能守恒，從中解出速度v，再由速度解出經歷四分之一周期的時間．

當小球的位移為x時，由前面的分析可知，每根彈簧的伸長量為，每根彈簧的彈性勢能為．

由機械能守恒可得

，

即，

所以，

即，

即．

顯然，

故有．