Question

【題目】一個原長為L、彈性系數為k的輕軟彈簧一端懸掛在轉軸上，另一端連接一個質量為m的球體．彈簧自水平、自然伸長狀態釋放，如圖甲所示．當彈簧達到豎直位置時，彈簧的長度是多少？（軟彈簧意味著，因此彈簧內部的張力始終直接正比于其伸長量）

Answer 1

【答案】

【解析】

由于彈簧很軟，初始時球體實際上做自由落體運動。彈簧的長度很快變為原長度的數倍（原長度在后續運動中可以忽略不計）．在這樣的近似下，球體在水平和豎直兩個方向上均做簡諧振動．由于小球剛剛釋放時初速度為0，它到達懸掛點正下方時水平振動剛好經過周期．同時，豎直方向的運動也相應地完成周期，到達懸掛點正下方的平衡位置，距離遠遠大于彈簧的原長度為．

小球的運動也可以用方程來定量描述，在如圖乙所示的坐標系中，小球在點處的運動方程為

在小球運動的初期，彈簧的伸長量與原長度L相比很小，彈簧的彈力可忽略不計．另一方面，當時，彈簧的原長可以忽略，小球的運動方程可以簡化為

和．

這兩個方程描述的周期相同的簡諧振動，平衡位置分別為x方向的原點和y方向坐標為的位置．考慮振動的初始條件，有

，

小球位于懸掛點正下方時，，，與前面的結論是一致的．

當然，小球最終還可以到達的位置。