Question

【題目】如圖所示，質量分別為、（）的“母子球”，從高度h處自由下落。證明：大球與地面相碰后，小球從大球頂反彈的最大高度達9h。

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

兩球在落地前均有向下的速度，先與地彈性碰撞后速度變為向上的，取向上為正方向，根據碰撞中的雙守恒，有

，

。

由此解得與發生彈性碰撞后的速度變為。

若，則有，故反彈后能達到的最大高度為。

我們也可以變換參考系，利用彈性碰撞時接近速度等于分離速度的結論來進行分析。假如你站在大球上，當大球與地面彈性碰撞后，將觀察到小球以的速度靠近，彈性碰撞后亦以的速度離開，這時小球對地的速度為，同樣可以得到其最大高度為9h。

如果在上面再放一個小球，且滿足，我們可以求解得到，反彈后能達到的最大高度為49h。

如果在100m高樓上做這個實驗，要使最上面的球碰撞后能達到第一宇宙速度，需要疊放幾個球呢？

通過推理得到第n個球反彈獲得的速度為

，

有，

解得。所以需疊放8個球。

當然，8個球在空間垂直線上要實觀彈性碰撞是很難做到的，何況要滿足限制條件，如小球質量比，欲使一顆質量為的小球獲得第一宇宙速度，的質量要達到，它足以毀壞大樓的地基。