Question

【題目】質量分別為，的兩物體、連接在原長，勁度系數為的彈性繩兩端，并放置在水平桌面上，如圖所示.已知兩物塊與桌面間的摩擦因數均為.現將兩物拉開至相距處，由靜止釋放，試求：

（1）兩物體相碰時的速度、；

（2）從釋放到相碰所用的時間.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）系統的運動可分解為質心的運動和相對于質心的運動.由于存在外力，故先求質心運動的加速度.

由牛頓第二定律可得

，

所以，.

下面討論兩物體相對于質心的運動.

當、之間的距離為時，、到質心的距離分別為和，則對應部分彈性繩的勁度系數分別為和.

由于質心系是一個零動量的系統，我們選擇其中一個物體作為研究對象，得到繩子松弛時的速度，也就容易得到另一個物體的速度.

討論質心系中的運動.

如圖所示，為繩子的松弛點，則

.

為在彈力、摩擦力和慣性力共同作用下的平衡點，所以

，

所以，.

而拉伸后，，所以，在彈性繩收縮的過程中做振幅為的簡諧運動，其周期.

從釋放到回到原長所經歷的時間滿足

.

代入數據可得

.

到達點時的速度為，則

.

代入數據可得.

利用質心系的動量是零可得

.

回到桌面參考系中，質心的速度為

.

的速度為

.

的速度為

.

以后繩子在松弛狀態，兩物體運動的加速度大小均為

.

由于的速率較小，先計算此刻起到停止為止，經歷的時間，滑過的路程.

，

.

在時間內，的運動路程為

，

.

說明在停下來以前，、未發生碰撞.重新考察的運動，有

.

假設經過后還有速度，有

，

解得.

兩物體相碰時的速度為

，（“—”表示方向向左）.

（2）前面已經得到了，下面再求從繩子松弛開始到、相碰所經歷的時間.

利用得，

所以，.

本題是一道較為復雜的動力學習題，對象與過程都較多，而且每個對象的過程都不是單一的，其運動也不是同步的，因此，在對每個對象運用程序法解題時，還必須注意與另一對象的對比，其難度可想而知.

參照系的選擇是捅破本題的一大亮點，此處質心系一方面是零動量系，同時也是非慣性系，零動量系為求解物體的速度帶來了方便，但非慣性系中的動力學問題又必須引入慣性力，而且最后還必須回到地面系來研究問題，得到結果，可謂有得矣有失，但從總體上講，質心系為我們的解題帶來的描述上的簡潔是其他方法無法替代的.

單個物體在有摩擦力作用的情況下的振動，我們平時研究得較多，這種運動單向是簡諧運動，但雙向并不是完整的簡諧運動，因為不同方向振動的平衡位置并不相同，因此，這類習題的解題必須嚴格地遵循程序法的解題步驟.