Question

【題目】如圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，為側棱上一點．該四棱錐的俯視圖和側（左）視圖如圖2所示．

（1）證明：平面；

（2）線段上是否存在點，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點，并求的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1），證得．又因為平面推出，

又，所以平面．

（2）點位于點處，此時；或中點處，此時.

【解析】

試題（1）【方法一】證明：由俯視圖可得，，所以．

又因為平面，所以，

又，所以平面．

（1）【方法二】證明：因為平面，，建立如圖所示

的空間直角坐標系． 在△中，易得，所以，

因為， 所以，．由俯視圖和左視圖可得：

．

所以，．

因為，所以．

又因為平面，所以，又

所以平面．

（2）解：線段上存在點，使與所成角的余弦值為．

證明如下：設，其中．

所以，．

要使與所成角的余弦值為，則有，

所以，解得或，均適合．

故點位于點處，此時；或中點處，此時，