Question

【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]

在直角坐標系中，曲線的參數方程為（是參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）設曲線經過伸縮變換得到曲線，是曲線上任意一點，求點到曲線的距離的最大值.

Answer 1

【答案】（1）的普通方程為：，的直角坐標方程為：；（2）.

【解析】

（1）直接消參可得曲線的普通方程，整理可得，將代入即可求得曲線的直角坐標方程，問題得解。

（2）利用伸縮變換求得曲線：，利用橢圓的參數方程可設，結合點到直線距離公式及輔助角公式即可解決問題。

解：（1）∵，消參可得曲線的普通方程為：，

∵，∴，

又∵,代入可得：.

故曲線的直角坐標方程為：.

（2）曲線：，經過伸縮變換得到曲線的方程為：，

∴曲線的方程為：.

設，根據點到直線的距離公式可得

（其中），

∴點到曲線的距離的最大值為.