Question

【題目】如圖，正方形ABCD的中心為O ， 四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD ， 點G為AB的中點，AB=BE=2.

（1）求證：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O-EF-C的正弦值；
（3）設H為線段AF上的點，且AH= HF ， 求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：找到 中點 ，連結 ，

∵矩形 ,∴

∵ 、 是中點，∴ 是 的中位線

∴ 且

∵ 是正方形 中心

∴

∴ 且

∴四邊形 是平行四邊形

∴

∵ 面

∴ 面

（2）

解：如圖所示建立空間直角坐標系

， ， ，

設面 的法向量

得：

∴

∵ 面 ，

∴面 的法向量

（3）

∵

∴

設

∴

得：

【解析】（1）取AD的中點I，連接FI，證明四邊形EFIG是平行四邊形，可得EG∥FI，利用線面平行的判定定理證明：EG∥平面ADF；
（2）建立如圖所示的坐標系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；
（3）求出 =（﹣ ， ， ），利用向量的夾角公式求出直線BH和平面CEF所成角的正弦值
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．