Question

【題目】在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線的極坐標方程為，曲線的參數方程為（為參數，）.

（Ⅰ）當時，判斷直線與曲線的位置關系；

（Ⅱ）設直線與軸的交點為，且與曲線交于兩點，且，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）直線與曲線相切（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）將極坐標方程以及參數方程化為普通方程，再利用點到直線的距離公式即可判斷.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，點坐標為，且直線的斜率為，直線的傾斜角為，將直線的參數方程與曲線的普通方程聯立，利用參數的幾何意義即可求解.

（Ⅰ）當時，曲線的參數方程為，

∴曲線的普通方程為，表示以原點為圓心，為半徑的圓，

∵，

∴，

∴直線的直角坐標方程為，

即，

∵到直線的距離為，

∴直線與曲線相切；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，點坐標為，且直線的斜率為，

∴直線的傾斜角為，

∴直線的參數方程為（為參數），

曲線的普通方程為，

將直線的參數方程代入曲線的普通方程，

整理，得，

∵直線與曲線交于兩點，設兩點對應的參數分別為，，

∴，

且，

∵，

∴，

解得（滿足），

∴的值為.