Question

【題目】已知函數f（x）=|x+3|﹣m+1，m＞0，f（x﹣3）≥0的解集為（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）． （Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若x∈R，f（x）≥|2x﹣1|﹣t2+ t成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）∵函數f（x）=|x+3|﹣m+1，m＞0， f（x﹣3）≥0的解集為（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
所以f（x﹣3）=|x|﹣m+1≥0，
所以|x|≥m﹣1的解集為為（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
所以m﹣1=2，
所以m=3；
（II）由（I）得f（x）=|x+3|﹣2
∵x∈R，f（x）≥|2x﹣1|﹣t2+ t 成立
即x∈R，|x+3|﹣|2x﹣1|≥﹣t2+ t+2成立
令g（x）=|x+3|=|2x﹣1|=
故g（x）max=g（ ）=
則有 |≥﹣t2+ t+2，即|2t2﹣5t+3≥0．
解得t≤1或t≥ ，
∴實數t的取值范圍是t≤1或t≥
【解析】（1）將不等式轉化為|x|≥m﹣1，根據其解集情況，確定m；（2）將不等式轉化為x∈R，|x+3|﹣|2x﹣1|≥﹣t2+ t+2成立，左邊構造函數，只要求出其最大值，得到關于t的不等式解之即可．
【考點精析】通過靈活運用絕對值不等式的解法，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號即可以解答此題．