Question

已知函數.
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當，且，求函數的單調區間.

Answer 1

(1) ；（2）當時，在，上單調遞增，在上單調遞減，當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.

試題分析：本題綜合考查函數與導數及運用導數求單調區間和切線方程等數學知識和方法，考查函數思想、分類討論思想.第一問，先把代入，得到解析式，對它求導，將切點的橫坐標代入得到切線的斜率，將1代入到表達式中得到切點的縱坐標，最后通過點斜式方程直接寫出切線方程；第二問，先對求導，令得到方程的2個根和，討論和的大小，分情況令得函數的增區間，得函數的減區間.
試題解析：(1)當時，，
∴，(2分)
∴，
又，(4分)
∴在點處的切線方程為.(5分)
(2)  ()，
令，可得.(6分)
①當時，由或，
在，上單調遞增．
由.
在上單調遞減．(9分)
②當時，由可得在，上單調遞增．
由可得在上單調遞減．(12分)