Question

【題目】已知函數有兩個極值點， ，且，記點， .

（Ⅰ）求直線的方程；

（Ⅱ）證明：線段與曲線有且只有一個異于、的公共點.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】【試題分析】（1）先求函數的極值點，再求兩極值點的坐標，運用直線的點斜式方程求出其方程；（2）依據題設條件先構造函數將問題進行等價轉化，再借助導數的知識分析推證：

（Ⅰ）令，解得或，

且在區間， 上單調遞增，在區間上單調遞減，

， ， ， ，即， ，

直線的方程為，化簡得.

（Ⅱ）設 ，

則線段與曲線的公共點即在區間上的零點.

令 ，解得， ，

且在區間， 上單調遞增，在區間上單調遞減.

由 可得 ，

即， ，

在區間上有且僅有有一個零點.

當時，有， 在上無零點；

當時，有， 在上無零點；

綜上， 在區間上有且僅有一個零點.

所以線段與曲線有且只有一個異于、的公共點.