Question

【題目】已知定義在R上的函數f（x），滿足 ，且f（3）=f（1）﹣1．
（1）求實數k的值；
（2）若函數g（x）=f（x）+f（﹣x）（﹣2≤x≤2），求g（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得f（1）﹣1=1+2﹣1=2，

f（3）=f（﹣1+4）=f（﹣1）=2，

所以可得

（2）解：由 得：

，

∴ ，

當0＜x＜2時，1＜x+1＜3，

所以

在（x+1）2=4即x=1處取得最小值，

所以g（x）在（0，1）處單調遞減，

在[1，2）上單調遞增，

，

當x→2時， ，

所以g（x）在（0，2）上的值域為[5，6）．

當﹣2＜x＜0時，1＜1﹣x＜3，

∴ ；

當（1﹣x）2=4，即x=﹣1時取得最小值；

當x→﹣2時， ；

當x→0時， ，

∴g（x）在（﹣2，0）上的值域為[5，6）．

綜上所述，g（x）的值域為

【解析】（1）由已知中函數f（x），滿足 ，且f（3）=f（1）﹣1，構造方程，解得實數k的值；（2）函數 ，分類討論各段上函數值的范圍，可得答案．