Question

一緝私艇發現在方位角45°方向，距離12海里的海面上有一走私船正以10海里/小時的速度沿方位角為105°方向逃竄，若緝私艇的速度為14海里/小時，緝私艇沿方位角45°+α的方向追去，若要在最短的時間內追上該走私船，求追擊所需時間和α角的正弦．（注：方位角是指正北方向按順時針方向旋轉形成的角，設緝私艇與走私船原來的位置分別為A、C，在B處兩船相遇）．

Answer 1

分析：緝私艇與走私船原來的位置分別為A、C，在B處兩船相遇，由條件得到∠ACB=120°，AC=12海里，設緝私船t小時后追上該走私船，根據各自的速度表示出BC與AB，由∠ACB=120°，∠CAB=α，利用正弦定理列出關系式，求出sinα的值；由余弦定理列出關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．

解答：解：由條件知∠ACB=120°，AC=12海里，
設緝私船t小時后追上該走私船，可得BC=10t，AB=14t，
∴由正弦定理

BC

sin∠CAB

=

AB

sin∠ACB

得：

10t

sinα

=

14t

sin120°

，
∴sinα=

5 3

14

，
由余弦定理AB²=AC²+BC²-2ACBCcos∠ACB得：（14t）²=12²+（10t）²-240tcos120°，
解得：t=2或t=-

3

4

（舍），
∴t=2小時，sinα=

5 3

14

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關鍵．