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【題目】如圖，矩形中，，為的中點，現將與折起，使得平面及平面都與平面垂直.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：（1）分別取中點，分別連接，可證明平面平面，可得，又，∴四邊形為平行四邊形，，從而可得平面；（2）以為原點，為，正半軸，建立空間直角坐標系，可得平面的一個法向量，利用向量垂直數量積為零列方程組求出平面的法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結果.

詳解：（1）分別取中點，分別連接，則且

∵平面及平面都與平面垂直，

∴平面平面，

由線面垂直性質定理知，又，

∴四邊形為平行四邊形，

又平面，∴平面.

（2）如圖，以為原點，為，正半軸，建立空間直角坐標系，則.

平面的一個法向量，設平面的法向量，

則，取得

∴，

注意到此二面角為鈍角，

故二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，拋物線與橢圓在第一線象限的交點為．

（1）求曲線、的方程；

（2）在拋物線上任取一點，在點處作拋物線的切線，若橢圓上存在兩點關于直線對稱，求點的縱坐標的取值范圍．

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【題目】如圖1，等邊△ABC中，AC＝4，D是邊AC上的點（不與A，C重合），過點D作DE∥BC交AB于點E，沿DE將△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如圖2所示．

（1）若異面直線BE與AC垂直，確定圖1中點D的位置；

（2）證明：無論點D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都為定值，并求出這個定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】判斷下列說法是否正確，若錯誤，請舉出反例

（1）互斥的事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件；

（2）互斥的事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件；

（3）事件與事件B中至少有一個發生的概率一定比與B中恰有一個發生的概率大；

（4）事件與事件B同時發生的概率一定比與B中恰有一個發生的概率小.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如果函數的定義域為，且存在實常數，使得對于定義域內任意，都有成立，則稱此函數具有“性質”.

（1）判斷函數是否具有“性質”，若具有“性質”，求出所有的值的集合，若不具有“性質”，請說明理由；

（2）已知函數具有“性質”，且當時，，求函數在區間上的值域；

（3）已知函數既具有“性質”，又具有“性質”，且當時，，若函數的圖像與直線有2017個公共點，求實數的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數（）.

(Ⅰ)當時，求不等式的解集；

(Ⅱ)求證:，并求等號成立的條件.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】繼共享單車之后，又一種新型的出行方式------“共享汽車”也開始亮相北上廣深等十余大中城市，一款叫“一度用車”的共享汽車在廣州提供的車型是“奇瑞eQ”，每次租車收費按行駛里程加用車時間,標準是“1元/公里+0.1元/分鐘”，李先生家離上班地點10公里，每天租用共享汽車上下班，由于堵車因素，每次路上開車花費的時間是一個隨機變量，根據一段時間統計40次路上開車花費時間在各時間段內的情況如下：

時間（分鐘）

次數

8

14

8

8

2

以各時間段發生的頻率視為概率，假設每次路上開車花費的時間視為用車時間，范圍為分鐘.

（Ⅰ）若李先生上.下班時租用一次共享汽車路上開車不超過45分鐘，便是所有可選擇的交通工具中的一次最優選擇，設是4次使用共享汽車中最優選擇的次數，求的分布列和期望.

（Ⅱ）若李先生每天上下班使用共享汽車2次，一個月（以20天計算）平均用車費用大約是多少（同一時段，用該區間的中點值作代表）.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，其中a >2.

（I）討論函數f(x)的單調性；

（II）若對于任意的，恒有，求a的取值范圍.

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【題目】已知冪函數在上單調遞增，又函數.

（1）求實數的值，并說明函數的單調性；

（2）若不等式恒成立，求實數的取值范圍.

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