Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論的單調性，并證明有且僅有兩個零點；

（Ⅱ）設是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在，單調遞增，證明見解析；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）先求得函數的定義域，利用導數求得函數的單調區間，結合零點存在性定理證得有且僅有兩個零點.

（Ⅱ）令，得.利用求得曲線在處的切線，求得與此切線的斜率相等的曲線的切線方程，利用判斷出這兩條切線方程相同，由此證得結論成立.

（Ⅰ）的定義域為，

因為，所以在，單調遞增.

因為，，所以在有唯一零點，

因為，由，得；

因為，所以在有唯一零點.

綜上，有且僅有兩個零點.

（Ⅱ）由題設知，即，

由，得，曲線在處的切線為：

，即.

由，得，則曲線的斜率為的切線的切點橫坐標滿足，解得，代入，得，

故曲線的斜率為的切線方程為，即，

由，得，從而與為同一條直線.