Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，求函數的單調遞增區間；

（2）若函數只有一個零點，求實數的取值范圍；

（3）當時，試問：過點存在幾條直線與曲線相切？

Answer 1

【答案】（1）和； （2）；

（3）當時，過點有1條直線與曲線相切；當時，過點有2條直線與曲線相切；當時，過點有3條直線與曲線相切.

【解析】

（1）當時，，分別求出在兩段區間上的單調遞增區間即可.

（2）.當時，函數單調遞增；當時，由得，分和具有不同的大小關系兩種情況去判斷函數的單調性，再根據單調性判斷零點的個數情況即可。

（3）當時，設切點為，切線的斜率，得到方程 ，化簡得.再判斷出方程無解，即沒有符合題意的切線.當時，同理可得：，判斷出方程解的個數，即為存在的切線條數.

（1）當時，，

當時，，由得：或，又，

所以， 或，即在和上單調遞增；

又時，恒成立，故在上單調遞增；

綜上可知，函數的單調遞增區間為和.

（2）.

當時，，因為，所以恒成立，即函數在上單調遞增；

當時，，因為，由得，

①若，即時，函數在上單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增.

因為函數只有一個零點，且，

所以只要，解得.

①若即時，函數在上單調遞增，在單調遞減，

在上單調遞增.

因為，，所以函數有兩個零點，不合題意.

綜上可知，實數的取值范圍是.

（3）當時，設切點為，因為切線的斜率，所以，化簡得.

令，則，

因為，所以，從而函數在上單調遞增，

又，此時函數在沒有零點，即沒有符合題意的切線.

當時，同理可得：，令，則，

因為，所以函數在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，

因為，，，

又由知，，

所以，當時，，，故函數只有1個零點，即符合題意的切線只有1條；

當時，，，故函數有2個零點，即符合題意的切線有2條；

當時，，，故函數有3個零點，即符合題意的切線有3條；

綜上可知，當時，過點有1條直線與曲線相切；

當時，過點有2條直線與曲線相切；

當時，過點有3條直線與曲線相切.