Question

已知函數.

（1）寫出該函數的單調區間；

（2）若函數恰有3個不同零點，求實數的取值范圍；

（3）若對所有恒成立，求實數n的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）單調增區間，  單調遞減區間是 

（2）  （3）n的取值范圍是

【解析】

試題分析：(1) 由函數的圖象 函數的單調遞減區間是  

單調增區間是，      

（2）作出直線，

函數恰有3個不同零點等價于函數

與函數的圖象恰有三個不同公共點。結合圖形

且函數    又  f(0)="1" f(1)=

∴                                    　　　　　　 　 

(3) 解：若要使f (x)≤n²－2bn+1對所有x∈[－1,1]恒成立 

則需 [f(x)]_max≤n²－2bn+1   [f(x)]_max=f(0)=1                    

∴n²－2bn+1≥1即n²－2bn≥0在b∈[－1,1]恒成立

∴y= －2nb+n²在b∈[－1,1]恒大于等于0         　　　　   

∴，∴

∴n的取值范圍是  

考點：函數圖象的作法；函數的單調性及單調區間；根的存在性及根的個數判斷．恒成立問題.

點評：本題考查了函數圖象的作法、函數的單調性及函數零點問題，本題的解決過程充分體現了數形結合

思想的作用．