Question

【題目】設函數f（x）=x2﹣ax﹣lnx，a∈R．
（Ⅰ）若函數f（x）的圖象在x=1處的切線斜率為1，求實數a的值；
（Ⅱ）當a≥﹣1時，記f（x）的極小值為H，求H的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數f（x）=x2﹣ax﹣lnx，a∈R，∴ ，（x＞0），

由題意知f′（1）=1，解得a=0．

（Ⅱ）設f′（x0）=0，則 ，

則 ，∴ ，

∴f（x）在（0，x0）遞減，在（x0，+∞）遞增，

則H=f（x）極小值=f（x0）= = ，

設g（a）= （a≥﹣1），

當a≥0時，g（a）為增函數，

當﹣1≤a≤0時，g（a）= ，此時g（a）為增函數，

∴ ，

∴函數y=﹣x2+1﹣lnx在（0，+∞）上為減函數，

∴f（x）極小值H的最大值為

【解析】（Ⅰ）求出 ，（x＞0），由題意知f′（1）=1，由此能求出a．（Ⅱ）設f′（x0）=0，則 ，從而 ，進而f（x）在（0，x0）遞減，在（x0，+∞）遞增，則H=f（x）極小值= ，設g（a）= （a≥﹣1），利用導數性質能求出f（x）極小值H的最大值．
【考點精析】關于本題考查的函數的最值及其幾何意義，需要了解利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲�；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲挡拍艿贸稣�確答案．