Question

如圖是一個面積為1的三角形，現進行如下操作。第一次操作：分別連接這個三角形三邊的中點，構成4個三角形，挖去中間一個三角形（如圖①中陰影部分所示），并在挖去的三角形上貼上數字標簽“1”；第二次操作：連結剩余的三個三角形三邊的中點，再挖去各自中間的三角形（如圖②中陰影部分所示），同時在挖去的3個三角形上都貼上數字標簽“2”；第三次操作：連接剩余的各三角形三邊的中點，再挖去各自中間的三角形，同時在挖去的三角形上都貼上數字標簽“3”；……，如此下去，記第次操作后剩余圖形的總面積為

（1）求；

（2）求第次操作后，挖去的所有三角形上所貼標簽上的數字和；

（3）浴使剩余圖形的總面積不足原三角形面積的，問至少經過多少次操作？  

Answer 1

解析：（1）；   …………4分

（2）設第n次操作挖去個三角形，則是以1為首項，3為公比的等比數列，即，所以所有三角形上所貼標簽上的數字的和

則，兩式相減，得：

，故

（3）因為是以為首項，以為公比的等比數列，所以…………8分

由，得

因為所以當時，

所以至少經過5次操作，可以使剩余圖形的總面積不足原三角形面積的…………12分