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如圖是一個面積為1的三角形，現進行如下操作。第一次操作：分別連接這個三角形三邊的中點，構成4個三角形，挖去中間一個三角形（如圖①中陰影部分所示），并在挖去的三角形上貼上數字標簽“1”；第二次操作：連結剩余的三個三角形三邊的中點，再挖去各自中間的三角形（如圖②中陰影部分所示），同時在挖去的3個三角形上都貼上數字標簽“2”；第三次操作：連接剩余的各三角形三邊的中點，再挖去各自中間的三角形，同時在挖去的三角形上都貼上數字標簽“3”；……，如此下去，記第次操作后剩余圖形的總面積為

 


 
 
（1）求；

（2）求第次操作后，挖去的所有三角形上所貼標簽上的數字和；

(Ⅰ)  (Ⅱ)


解析:

（1）；……6分

（2）設第n次操作挖去個三角形，則是以1為首項，3為公比的等比數列，即，所以所有三角形上所貼標簽上的數字的和

則，兩式相減，得：

，故……12分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（文）如圖所示，一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的全面積為
3π
2
3π
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（文）如圖所示，一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的全面積為
3
2
π
3
2
π
．
（理）某學校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會志愿者，若用隨機變量ξ表示選出的志愿者中女生的人數，則數學期望Eξ=
4
7
4
7
．
（結果用最簡分數表示）

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科目：高中數學 來源：安徽省蚌埠市2009屆高三上學期第一次教學質量模擬考試、數學(理) 題型：044

如圖是一個面積為1的三角形，現進行如下操作．第一次操作：分別連接這個三角形三邊的中點，構成4個三角形，挖去中間一個三角形(如圖①中陰影部分所示)，并在挖去的三角形上貼上數字標簽“1”；第二次操作：連結剩余的三個三角形三邊的中點，再挖去各自中間的三角形(如圖②中陰影部分所示)，同時在挖去的3個三角形上都貼上數字標簽“2”；第三次操作：連接剩余的各三角形三邊的中點，再挖去各自中間的三角形，同時在挖去的三角形上都貼上數字標簽“3”；……，如此下去，記第n次操作后剩余圖形的總面積為an

(1)求a1，a2；

(2)求第n次操作后，挖去的所有三角形上所貼標簽上的數字和Sn；

(3)浴使剩余圖形的總面積不足原三角形面積的，問至少經過多少次操作？

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖是一個面積為1的三角形，現進行如下操作。第一次操作：分別連接這個三角形三邊的中點，構成4個三角形，挖去中間一個三角形（如圖①中陰影部分所示），并在挖去的三角形上貼上數字標簽“1”；第二次操作：連結剩余的三個三角形三邊的中點，再挖去各自中間的三角形（如圖②中陰影部分所示），同時在挖去的3個三角形上都貼上數字標簽“2”；第三次操作：連接剩余的各三角形三邊的中點，再挖去各自中間的三角形，同時在挖去的三角形上都貼上數字標簽“3”；……，如此下去，記第次操作后剩余圖形的總面積為

（1）求；

（2）求第次操作后，挖去的所有三角形上所貼標簽上的數字和；

（3）浴使剩余圖形的總面積不足原三角形面積的，問至少經過多少次操作？  

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