Question

【題目】已知函數 存在兩個極值點．
（Ⅰ）求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）設x1和x2分別是f（x）的兩個極值點且x1＜x2 ， 證明： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題設函數f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）=lnx﹣ax，

故函數f（x）有兩個極值點等價于其導函數f'（x）在（0，+∞）有兩個零點．

當a=0時f'（x）=lnx，顯然只有1個零點x0=1．

當a≠0時，令h（x）=lnx﹣ax，那么 ．

若a＜0，則當x＞0時h'（x）＞0，即h（x）單調遞增，所以h（x）無兩個零點．

若a＞0，則當 時h'（x）＞0，h（x）單調遞增；當 時h'（x）＜0，h（x）單調遞減，

所以 ．

又h（1）=﹣a＜0，當x→0時→﹣∞，故若有兩個零點，則 ，得 ．

綜上得，實數a的取值范圍是 ．

（Ⅱ）證明：要證 ，兩邊同時取自然對數得 ．

由f'（x）=0得 ，得 ．

所以原命題等價于證明 ．

因為x1＜x2，故只需證 ，即 ．

令 ，則0＜t＜1，設 ，只需證g（t）＜0．

而 ，故g（t）在（0，1）單調遞增，所以g（t）＜g（1）=0．

綜上得 ．

【解析】（Ⅰ）函數f（x）有兩個極值點等價于其導函數f'（x）在（0，+∞）有兩個零點，分類討論求實數a的取值范圍；（Ⅱ）要證 ，兩邊同時取自然對數得 ，由f'（x）=0得 ，得 ．所以原命題等價于證明 ．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．