Question

【題目】設函數f（x）= ，a為常數，且a∈（0，1）．
（1）若x0滿足f（x0）=x0 ， 則稱x0為f（x）的一階周期點，證明函數f（x）有且只有兩個一階周期點；
（2）若x0滿足f（f（x0））=x0 ， 且f（x0）≠x0 ， 則稱x0為f（x）的二階周期點，當a= 時，求函數f（x）的二階周期點．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題可得，當0≤x≤a時， ，因為a∈（0，1），所以x=0；

當a＜x≤1時， ，因為a∈（0，1），所以x= ，

所以函數f（x）有且只有兩個一階周期點．

（2）解：當 時，

所以

當 時，由4x=x，解得x=0，

因為f（0）=0，故x=0不是f（x）的二階周期點；

當 時，由2﹣4x=x，解得 ，

因為 ，故 是f（x）的二階周期點；

當 時，由4x﹣2=x，解得 ，

因為 ，故 不是f（x）的二階周期點；

當 時，由4﹣4x=x，解得 ，

因為 ，故 是f（x）的二階周期點；

綜上，當 時，函數f（x）的二階周期點為x1= ，x2= ．

【解析】（1）利用定義通過當0≤x≤a時，當a＜x≤1時，驗證函數f（x）有且只有兩個一階周期點．（2）當 時， ，推出 ，利用函數的定義域，通過分段求解即可．