Question

【題目】已知函數.

（1）若函數有零點，求的取值范圍；

（2）若對任意的，都有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的取值范圍為；（2）實數的取值范圍.

【解析】試題分析：（1）將函數有零點的問題轉化為方程有解的問題處理。令，則化為關于的方程有正根的問題，設，根據拋物線的開口方向及對稱軸求解。（2）由題意可得恒成立。分兩種情況：當時，不等式為，此時實數. 當時，分析得，求得的最大值和的最小值可得。

試題解析：

（1）由函數有零點得：關于的方程有解.

令，則，于是有關于的方程有正根.

設，則函數的圖象恒過點且對稱軸為.

①當時， 的圖象開口向下，

故恰有一正數解；

②當時， ，不合題意；

③當時， 的圖象開口向上，故要使有正數解，

需使，

解得.

綜上可知實數的取值范圍為.

（2）由恒成立得恒成立.

∵，

∴恒成立。

當時，不等式為，此時實數.

當時，則有，

所以，

故由不等式可得

∵，

∴，

則，

∴

綜上可得實數的取值范圍.