Question

設a為非零實數，偶函數f（x）=x²+a|x-m|+1（x∈R）在區間（2，3）上存在唯一零點，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據函數是一個偶函數，利用偶函數的定義，寫出關系式得到m的值是0，根據在區間（2，3）上存在唯一零點，得到f（2）×f（3）＜0且在（2，3）上為單調函數，求出結果．

解答：解：∵偶函數f（x）=x²+a|x-m|+1
f（-x）=x²-a|x+m|+1=x ²+a|x-m|+1
|x+m|=|x-m|
2xm=-2xm
∴m=0
f（x）=x²+a|x|+1，
x∈（2，3），f（x）=x²+ax+1，若其在區間（2，3）上存在唯一零點
f（2）×f（3）＜0且在（2，3）上為單調函數
∴（5+2a）（10+3a）＜0
∴-

10

3

＜a＜-

5

2

故答案為：（-

10

3

，-

5

2

）

點評：本題考查函數的零點的判定定理，本題解題的關鍵是先寫出符合偶函數的定義的式子，整理出式子中的字母系數的值．