Question

設a為非零實數，偶函數f（x）=x²+a|x-m|+1，x∈R．
（1）求實數m的值；
（2）試確定函數f（x）的單調區間（不需證明）；
（3）若函數f（x）在區間（-3，-2）上存在零點，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據偶函數的定義建立恒等式f（-x）=f（x）在R上恒成立，從而求出m的值即可；
（2）根據函數的解析式，結合二次函數的性質，可分析出的函數的圖象與性質，進而得到函數f（x）的單調區間
（3）函數f（x）在區間（-3，-2）上存在零點，根據零點存在定理，可得f（-2）•f（-3）＜0，由此構造關于a的不等式，解不等式即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）是偶函數，∴f（-x）=f（x）在R上恒成立，
即（-x）²+|-x-m|+1=x²+|x-m|+1，
化簡整理，得mx=0在R上恒成立，（3分）
∴m=0．（5分）
（2）由已知，可得f（x）=x²+a|x|+1，
則當a＞0時，遞增區間為（0，+∞），遞減區間為（-∞，0）
當a＜0時，遞增區間為[

a

2

，0]和[-

a

2

，+∞）遞減區間（-∞，

a

2

）和（0，

a

2

）
（3）當a＞0時，在區間（-3，-2）上f（x）＞0恒成立，不滿足要求；
當a＜0時，若函數f（x）在（-3，-2）上只有一個零點
則f（-2）•f（-3）＜0
即（5+2a）•（10+3a）＜0
解得：-

10

3

＜a＜-

5

2

點評：本題考查的知識點是偶函數，函數的單調性的判斷與證明，函數的零點，（1）的關鍵是根據偶函數的定義，構造關于m的方程，（2）的關鍵是對a進行分類討論，（3）的關鍵是根據零點存在定理，構造關于a的不等式．