Question

以下四個關于圓錐曲線的命題中：①設為兩個定點，為非零常數，，則動點的軌跡為雙曲線；②過定圓上一定點作圓的動點弦，為坐標原點，若則動點的軌跡為圓；③設是的一內角，且，則表示焦點在軸上的雙曲線；④已知兩定點和一動點，若，則點的軌跡關于原點對稱.
其中真命題的序號為               （寫出所有真命題的序號）.

Answer 1

②④

解析試題分析：對于①，由雙曲線的定義可知，動點的軌跡為雙曲線的一支，所以①不正確；對于②，由，可知點為弦的中點，連結，則有即，而均為定點，所以點的軌跡是以為直徑的圓，所以②正確；對于③，由兩邊平方可得，所以，因為是的一個內角，可判斷為鈍角，所以且，聯立，從而方程為，表示焦點在軸上的橢圓，所以③錯誤；對于④，設動點，則由可得，將代入等式左邊可得，所以動點的軌跡關于原點對稱，即④正確；綜上可知，真命題的序號是②④.
考點：1.雙曲線的定義；2.動點的軌跡問題；3.雙曲線的離心率.