Question

【題目】定義首項為1且公比為正數的等比數列為“M－數列”.

（1）已知等比數列{an}滿足：，求證:數列{an}為“M－數列”；

（2）已知數列{bn}滿足:，其中Sn為數列{bn}的前n項和．

①求數列{bn}的通項公式；

②設m為正整數，若存在“M－數列”{cn}，對任意正整數k，當k≤m時，都有成立，求m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）①bn=n；②5.

【解析】

（1）由題意分別求得數列的首項和公比即可證得題中的結論；

（2）①由題意利用遞推關系式討論可得數列{bn}是等差數列，據此即可確定其通項公式；

②由①確定的值，將原問題進行等價轉化，構造函數，結合導函數研究函數的性質即可求得m的最大值．

（1）設等比數列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0.

由，得，解得．

因此數列為“M—數列”.

（2）①因為，所以．

由得，則.

由，得，

當時，由，得，

整理得．

所以數列{bn}是首項和公差均為1的等差數列.

因此，數列{bn}的通項公式為bn=n.

②由①知，bk=k，.

因為數列{cn}為“M–數列”，設公比為q，所以c1=1，q>0.

因為ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.

當k=1時，有q≥1；

當k=2，3，…，m時，有．

設f（x）=，則．

令，得x=e.列表如下：

x		e	(e，+∞)
	+	0	–
f（x）		極大值

因為，所以．

取，當k=1，2，3，4，5時，，即，

經檢驗知也成立．

因此所求m的最大值不小于5．

若m≥6，分別取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，從而q15≥243，且q15≤216，

所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.

綜上，所求m的最大值為5．