Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數.

（Ⅰ）當，時，證明：；

（Ⅱ）當時，討論函數的極值點的個數.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）依題意，只要證，記，求得，分和討論即可得到函數的單調性，進而得到結論；

（Ⅱ）由 ，記，，（1）當時，得到存在唯一，且當時，；當，，再分和和三種情形討論，得到地產是有一個極大值點 和一個極小值點，（2）當時，顯然在單調遞減；在上單調遞增，綜上所述即可得到結論.

試題解析：

（Ⅰ）依題意，因為，只要證，

記，，則.

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

所以，即，原不等式成立.

（Ⅱ）

，

記，.

（1）當時，，在上單調遞增，，，

所以存在唯一，，且當時，；當，，

①若，即時，對任意，，此時在上單調遞增，無極值點.

②若，即時，此時當或時，.即在，上單調遞增；當時，，即在上單調遞減.

此時有一個極大值點和一個極小值點-1.

③若，即時，此時當或時，.即在，上單調遞增；當時，，即在上單調遞減.

此時有一個極大值點-1和一個極小值點.

（2）當時，，所以，顯然在單調遞減；在上單調遞增.

綜上可得：①當或時，有兩個極值點；

②當時，無極值點；

③當時，有一個極值點.