Question

【題目】已知橢圓： 的左、右焦點分別為， ，且離心率為， 為橢圓上任意一點，當時， 的面積為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點是橢圓上異于橢圓頂點的一點，延長直線， 分別與橢圓交于點， ，設直線的斜率為，直線的斜率為，求證： 為定值.

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）設由題，由此求出,可得橢圓的方程；

（2）設， ，

當直線的斜率不存在時，可得；

當直線的斜率不存在時，同理可得.

當直線、的斜率存在時，，

設直線的方程為，則由消去通過運算可得

，同理可得，由此得到直線的斜率為，

直線的斜率為，進而可得.

試題解析：（1）設由題，

解得，則，

橢圓的方程為.

（2）設， ，

當直線的斜率不存在時，設，則，

直線的方程為代入，可得，

， ，則，

直線的斜率為，直線的斜率為，

，

當直線的斜率不存在時，同理可得.

當直線、的斜率存在時，，

設直線的方程為，則由消去可得：

，

又，則，代入上述方程可得

，

，則

，

設直線的方程為，同理可得，

直線的斜率為，

直線的斜率為，

.

所以，直線與的斜率之積為定值，即.

【題型】解答題
【結束】
21

【題目】已知函數， ，在處的切線方程為.

（1）求， ；

（2）若方程有兩個實數根， ，且，證明： .

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）見解析

【解析】試題分析： 在處的切線方程為，求導算出切線方程即可求出結果構造，求導，得在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，設的根為，證得，討論證得的根為， ，從而得證結論

解析：（1）由題意，所以，

又，所以，

若，則，與矛盾，故， .

（2）由（Ⅰ）可知， ，

設在(-1，0)處的切線方程為，

易得， ，令

即， ，

當時，

當時，

設， ，

故函數在上單調遞增，又，

所以當時， ，當時， ，

所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

故， ，

設的根為，則，

又函數單調遞減，故，故，

設在(0,0)處的切線方程為，易得，

令， ，

當時， ，

當時，

故函數在上單調遞增，又，

所以當時， ，當時， ，

所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

， ，

設的根為，則，

又函數單調遞增，故，故，

又，

.