【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
， 
為參數），以坐標原點
為極點， 
軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
，若直線
與曲線
相切；
（1）求曲線
的極坐標方程；
（2）在曲線
上取兩點
， 
與原點
構成
，且滿足
，求面積
的最大值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】試題分析：（1）利用極坐標與直角坐標的互化公式可得直線
的直角坐標方程為
，
，消去參數
可知曲線
是圓心為
，半徑為
的圓，由直線
與曲線
相切，可得： 
；則曲線C的方程為
， 再次利用極坐標與直角坐標的互化公式可得
可得曲線C的極坐標方程.
(2)由（1）不妨設M（
），
，（
），
，
，
由此可求
面積的最大值.
試題解析：（1）由題意可知直線
的直角坐標方程為
，
曲線
是圓心為
，半徑為
的圓，直線
與曲線
相切，可得： 
；可知曲線C的方程為
，
所以曲線C的極坐標方程為
，
即
.
(2)由（1）不妨設M（
），，（
），
，
，
當
時， 
，
所以△MON面積的最大值為
.
【題型】解答題
【結束】
23
【題目】已知函數
的定義域為
；
（1）求實數
的取值范圍；
（2）設實數
為
的最大值，若實數
， 
， 
滿足
，求
的最小值.
靈星計算小達人系列答案
孟建平錯題本系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】經調查，3個成年人中就有一個高血壓，那么什么是高血壓？血壓多少是正常的？經國際衛生組織對大量不同年齡的人群進行血壓調查，得出隨年齡變化，收縮壓的正常值變化情況如下表：
其中： 
， 
， 
（1）請畫出上表數據的散點圖；
（2）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出
關于
的線性回歸方程
；（
的值精確到0.01）
（3）若規定，一個人的收縮壓為標準值的0.9~1.06倍，則為血壓正常人群；收縮壓為標準值的1.06~1.12倍，則為輕度高血壓人群；收縮壓為標準值的1.12~1.20倍，則為中度高血壓人群；收縮壓為標準值的1.20倍及以上，則為高度高血壓人群.一位收縮壓為180mmHg的70歲的老人，屬于哪類人群？
【答案】(1)答案見解析；(2) 
；(3)中度高血壓人群.
【解析】試題分析：（1）將數據對應描點，即得散點圖，（2）先求均值，再代人公式求
，利用
求
，（3）根據回歸直線方程求自變量為180時對應函數值，再求與標準值的倍數，確定所屬人群.
試題解析：(1) 
（2）
∴
∴回歸直線方程為
.
（3）根據回歸直線方程的預測，年齡為70歲的老人標準收縮壓約為
（mmHg）∵
∴收縮壓為180mmHg的70歲老人為中度高血壓人群.
【題型】解答題
【結束】
19
【題目】如圖，四棱柱
的底面為菱形， 
， 
， 
為
中點.
（1）求證： 
平面
；
（2）若
底面
，且直線
與平面
所成線面角的正弦值為
，求
的長.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】濟南市某中學高三年級有1000名學生參加學情調研測試，用簡單隨機抽樣的方法抽取了一個容量為50的樣本，得到數學成績的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求第四個小矩形的高，并估計本校在這次統測中數學成績不低于120分的人數和這1000名學生的數學平均分；
（2）已知樣本中，成績在[140，150]內的有2名女生，現從成績在這個分數段的學生中隨機選取2人做學習交流，求選取的兩人中至少有一名女生的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，設AB1的中點為D，B1C∩BC1＝E.
求證：(1)DE∥平面AA1C1C；
(2)BC1⊥AB1.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
的左、右焦點分別為
， 
，且離心率為
， 
為橢圓上任意一點，當
時， 
的面積為1.
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知點
是橢圓
上異于橢圓頂點的一點，延長直線
， 
分別與橢圓交于點
， 
，設直線
的斜率為
，直線
的斜率為
，求證： 
為定值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】試題分析：（1）設
由題
，由此求出
,可得橢圓
的方程；
（2）設
， 
，
當直線
的斜率不存在時，可得
；
當直線
的斜率不存在時，同理可得
.
當直線
、
的斜率存在時，
，
設直線
的方程為
，則由
消去
通過運算可得
，同理可得
，由此得到直線
的斜率為
，
直線
的斜率為
，進而可得
.
試題解析：（1）設由題
，
解得
，則
，
橢圓
的方程為
.
（2）設
， 
，
當直線
的斜率不存在時，設
，則
，
直線
的方程為
代入
，可得
，
， 
，則
，
直線
的斜率為
，直線
的斜率為
，
，
當直線
的斜率不存在時，同理可得
.
當直線
、
的斜率存在時，，
設直線
的方程為
，則由
消去
可得：
，
又
，則
，代入上述方程可得
，
，則
，
設直線
的方程為
，同理可得
，
直線
的斜率為
，
直線
的斜率為
，
.
所以，直線
與
的斜率之積為定值
，即
.
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知函數
， 
，在
處的切線方程為
.
（1）求
， 
；
（2）若方程
有兩個實數根
， 
，且
，證明： 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】假設有一套住房的房價從2002年的20萬元上漲到2012年的40萬元,下表給出了兩種價格增長方式,其中
是按直線上升的房價,
是按指數增長的房價,t是2002年以來經過的年數.
t | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
| 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| 20 |
| 40 |
| 80 |
(1)求函數
的解析式;
(2)求函數
的解析式;
(3)完成上表空格中的數據,并在同一直角坐標系中畫出兩個函數的圖象,然后比較兩種價格增長方式的差異.
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