Question

【題目】如圖，在直角坐標中，設橢圓的左右兩個焦點分別為，過右焦點且與軸垂直的直線與橢圓相交，其中一個交點為.

(1)求橢圓的方程；

(2>已知經過點且斜率為直線與橢圓有兩個不同的和交點,請問是否存在常數，使得向量與共線？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) （2）不存在常數，使得向量與共線．

【解析】試題分析：(1)由過右焦點且與軸垂直的直線與橢圓相交，其中一個交點為 ，可得 ，再根據橢圓的定義以及勾股定理列方程求得 從而得 ，進而可得橢圓的標準方程；（2）直線的方程為與橢圓方程聯立，可得，由，解得， 與共線等價于，根據韋達定理以及向量的坐標運算法則可得關于的方程，解得，從而可得結論.

試題解析：(1)由橢圓定義可知.

由題意,.

又由△可知 ，,，

又，得.

橢圓的方程為.

（2）設直線的方程為，

代入橢圓方程，得．

整理，得 ①

因為直線與橢圓有兩個不同的交點和等價于，

解得．

設,則＝,

由①得 ②

又③

因為， 所以．

所以與共線等價于．

將②③代入上式，解得．

因為

所以不存在常數，使得向量與共線．