Question

（2006•嘉定區二模）已知函數f（x）=|1-

1

x

|，x∈（0，+∞）．
（1）作出函數y=f（x）的大致圖象并根據圖象寫出函數f（x）的單調區間；
（2）證明：當0＜a＜b且f（a）=f（b）時，ab＞1；
（3）若存在實數a，b（0＜a＜b），使得函數y=f（x）在x∈[a，b]上的函數的值域為[ma，mb]（m≠0），求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數的圖象由y=

1

x

（x∈（0，+∞））的圖象先做一次關于x軸的對稱變換，再向上平移一個單位，再做一次縱向的對折變換得到，由此可得函數y=f（x）的大致圖象，進而根據圖象下降對應函數的單調遞減區間，圖象上升對應函數的單調遞增區間得到答案
（2）0＜a＜b，f（a）=f（b），及函數的單調性知，0＜a＜1，b＞1，結合函數的解析式及基本不等式可得ab＞1；
（3）分當a∈（0，1），b∈（1，+∞）時，當a，b∈（0，1）時，和當a，b∈（1，+∞）時，三種情況分別討論m的取值范圍，最后綜合討論結果可得答案．

解答：解：（1）圖象如圖所示．…（3分）

單調遞減區間：（0，1]；…（4分）
單調遞增區間：[1，+∞）…（5分）
證明：（2）由0＜a＜b，f（a）=f（b）
及函數的單調性知，0＜a＜1，b＞1，…（7分）
∴f(a)=|1-

1

a

|=

1

a

-1，f(b)=|1-

1

b

|=1-

1

b

，由

1

a

-1=1-

1

b

得

1

a

+

1

b

=2，
∴2=

1

a

+

1

b

=

a+b

ab

≥

2 ab

ab

=

2

ab

，∴

ab

≥1，即ab≥1…（10分）

解：（3）當a∈（0，1），b∈（1，+∞）時，1∈[a，b]，而f（1）=0∉[ma，mb]，矛盾．
∴a，b∈（0，1）或a，b∈（1，+∞）…（12分）
當a，b∈（0，1）時，由f（x）是減函數知，f（a）=mb，f（b）=ma，
即

1

a

-1=mb，

1

b

-1=ma，得a=b，舍去．…（14分）
當a，b∈（1，+∞）時，由f（x）是增函數知，f（a）=ma，f（b）=mb，
即1-

1

a

=ma，1-

1

b

=mb，∴a，b是方程mx²-x+1=0的兩個不相等實根，且這
兩根均大于1．
∴△=1-4m＞0且m-1+1＞0，

1

2m

＞1，解得0＜m＜

1

4

…（17分）
∴實數m的取值范圍是(0，

1

4

)…（18分）

點評：本題考查的知識點是函數圖象的變換，函數的單調區間，函數值的比較，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．