Question

【題目】已知拋物線上一點到焦點的距離．

（1）求的方程；

（2）過的直線與相交于，兩點，的垂直平分線與相交于，兩點，若，求直線的方程．

Answer 1

【答案】：（1）；（2）或

【解析】

（1）由拋物線的定義，得，代入拋物線的方程，求得，即可求得拋物線的方程；

（2）由題意可知，設的方程為，聯立方程組，求得，，得到的中點的坐標和弦長，把直線的方程代入拋物線方程化簡，利用韋達定理，弦長公式求得，由于垂直平分線段，故四點共圓等價于，由此求得的值，可得直線的方程．

解：（1）由拋物線的定義，得，又，

∴，即，∴．

∵在拋物線上，

∴，解得（舍去）或．

故的方程為．

（2）由題意可知，直線的斜率存在，且不等于0，故可設的方程為，由消去并整理，得．

其判別式

設，，則

∴．

∴的中點的坐標為，．

又的斜率為，其方程為即

由消去并整理，得，

其判別式

設，，則，

∴．

∴的中點的坐標為

∵，∴即，∴．

又，∴，

即

化簡，得解得．

故所求直線的方程為，即或．

解法二：由得：，

．

，，，．

∴，

∴

由對稱性有，所以也有．

即，是方程的兩根，所以

，又因為，∴，解得：．

故所求直線的方程為，即或．