Question

【題目】已知左、右焦點分別為的橢圓過點，且橢圓C關于直線x=c對稱的圖形過坐標原點．

(I)求橢圓C的離心率和標準方程。

(II)圓與橢圓C交于A,B兩點，R為線段AB上任一點，直線交橢圓C于P，Q兩點，若AB為圓的直徑，且直線的斜率大于1，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ) .

【解析】

（Ⅰ）利用橢圓C過點，∵橢圓C關于直線x＝c對稱的圖形過坐標原點，推出a＝2c，然后求解橢圓C的離心率，標準方程．

（Ⅱ）設A（），B（），利用中點坐標公式以及平方差法求出AB的斜率，得到直線AB的方程，代入橢圓C的方程求出點的坐標，設F1R：y＝k（x+1），聯立，設P（x3，y3），Q（x4，y4），利用韋達定理，結合，，化簡|PF1||QF1|，通過，求解|PF1||QF1|的取值范圍．

(Ⅰ)∵橢圓過點，∴，①

∵橢圓關于直線對稱的圖形過坐標原點，∴，

∵，∴，②

由①②得，，

∴橢圓的離心率，標準方程為.

(Ⅱ)因為為圓的直徑，所以點為線段的中點，

設，，則，，又，

所以，則，故，則直線的方程為，即.代入橢圓的方程并整理得，

則，故直線的斜率.

設，由，得，

設，，則有，.

又，，

所以=，

因為，所以，

即的取值范圍是.