Question

【題目】在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，R表示的外接圓半徑.

（Ⅰ）如圖，在以O圓心、半徑為2的O中，BC和BA是O的弦，其中，求弦AB的長;

(Ⅱ)在中，若是鈍角，求證：;

(Ⅲ)給定三個正實數a、b、R，其中，問：a、b、R滿足怎樣的關系時，以a、b為邊長，R為外接圓半徑的不存在、存在一個或存在兩個（全等的三角形算作同一個）？在存在的情況下，用a、b、R表示c.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)見解析；（Ⅲ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據正弦定理，即可求得AB的長度。

（Ⅱ）由余弦定理，結合角C為鈍角，即可得到，再由正弦定理即可得到。

（Ⅲ） 對a進行分類討論，在不同情況下結合正弦定理與余弦定理確定a、b、c的關系，進而判斷三角形的個數。

（Ⅰ）解法一：連接OB，OC，則，所以，所以．在中，，由正弦定理得,

解得

解法二：的外接圓半徑為2，在中，，

∴.

(Ⅱ)解法一：因為是鈍角，所以，即，又因為,所以，又因為，所以所以，則

解法二：由正弦定理得由于是鈍角，都是銳角，得

，

∵，∴，即.

（Ⅲ）①當或時，所求的不存在.

②當且時，，所求的只存在一個，且.

③當且時，，且A、B都是銳角，由，

A、B唯一確定．因此，所求的只存在一個，且.

④時，總是銳角，可以是鈍角也可以是銳角，因此，所求的存在兩個．由,得

當時，，

當時，，

.