Question

【題目】已知函數f（x）=Asin（ωx﹣ ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值為3，其圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為 ．
（1）求函數f（x）對稱中心的坐標；
（2）求函數f（x）在區間[0， ]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為A＞0，所以f（x）max=A+1=3，

所以A=2，

又因為f（x）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為 ，

所以 = ，

所以T=π，

故ω= =2，

所以f（x）=2sin（2x﹣ ）+1．

令2x﹣ =kπ（k∈Z），

所以x= + （k∈Z），

故對稱中心為（ + ，1）（k∈Z）；

（2）解：∵x∈[0， ]，

∴2x﹣ ∈[﹣ ， ]，

∴sin（2x﹣ ）∈[ ，1]，

∴f（x）=2sin（2x﹣ ）+1∈[0，3]

所以函數f（x）在區間[0， ]上的值域為：[0，3]．

【解析】首先根據函數的最值和對稱軸之間的距離確定A和ω，進一步求出正弦型函數的解析式．（1）根據正弦函數圖象性質求得函數f（x）對稱中心的坐標；（2）根據正弦函數圖象的性質求值域．
【考點精析】通過靈活運用正弦函數的單調性和正弦函數的對稱性，掌握正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數；正弦函數的對稱性：對稱中心；對稱軸即可以解答此題．