Question

【題目】某同學在獨立完成課本上的例題：“求證： + ＜2 ”后，又進行了探究，發現下面的不等式均成立． + ＜2
+ ＜2
+ ＜2
+ ＜2 ，
+ ≤2 ．
（1）請根據上述不等式歸納出一個一般性的不等式；（用字母表示）
（2）請用合適的方法證明你寫出的不等式成立．

Answer 1

【答案】
（1）解： + ≤2 （x，y≥0），

等號當且僅當x=y時成立

（2）證明：運用分析法證明．

要證 + ≤2 （x，y≥0），

兩邊平方即證x+y+2 ≤2（x+y），

即為x+y﹣2 ≥0，

即有（ ﹣ ）2≥0，

上式顯然成立，且當且僅當x=y取得等號

【解析】（1）由已知不等式，可得 + ≤2 （x，y≥0），x=y時取得等號；（2）運用分析法證明，通過兩邊平方和完全平方公式，即可得證．
【考點精析】通過靈活運用不等式的證明，掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等即可以解答此題．