Question

【題目】電容器充電后，電壓達到100 V，然后開始放電，由經驗知道，此后電壓U隨時間t變化的規律用公式U＝Aebt(b<0)表示，現測得時間t(s)時的電壓U(V)如下表：

t(s)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
U(V)	100	75	55	40	30	20	15	10	10	5	5

試求：電壓U對時間t的回歸方程．(提示：對公式兩邊取自然對數，把問題轉化為線性回歸分析問題)

Answer 1

【答案】.

【解析】

對表達式，兩邊同時取對數，令y＝ln U，a＝ln A，x＝t把非線性方程轉化為線性方程。根據題目的數據求解y,x的值，利用線性回歸方程中的的計算公式，得出線性回歸方程，再還原為非線性回歸方程。

對U＝Aebt兩邊取對數得ln U＝ln A＋bt，令y＝ln U，a＝ln A，x＝t，

則y＝a＋bx，得y與x的數據如下表：

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y	4.6	4.3	4.0	3.7	3.4	3.0	2.7	2.3	2.3	1.6	1.6

根據表中數據作出散點圖，如圖所示，

從圖中可以看出，y與x具有較強的線性相關關系，

由表中數據求得＝5，≈3.045，進而可以求得≈－0.313，＝－＝4.61.

所以y對x的線性回歸方程為y＝4.61－0.313x.

由y＝ln U，得U＝ey，U＝e4.61－0.313x＝e4.16·e－0.313x.

因此電壓U對時間t的回歸方程為.