Question

【題目】已知橢圓：的短軸長為2，且橢圓過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線過定點，且斜率為，若橢圓上存在，兩點關于直線對稱，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）將點的坐標代入橢圓方程，再結合，求出的值，即可得到橢圓的方程；

（2）設直線的方程為，，，然后由直線方程與橢圓方程聯立方程組，消去，判別式大于零，再通過根與系數的關系，得到線段中點的橫坐標，再將其代入直線方程中得到中點的縱坐標，將線段中點坐標代入直線的方程，可得到的關系式，再結合判別式得到的不等式可求出的取值范圍.

解：（1）∵橢圓的短軸長為2，∴，即.

又點在上，∴，∴，

∴橢圓的方程為.

（2）由題意設直線的方程為，，，

由消去得，，

∴，即，①

且，

∴線段中點的橫坐標，縱坐標，

即線段的中點為，

將代入直線可得，，②

由①，②可得，，∴.