Question

設函數f(x)＝ax²＋bx＋c，且f(1)＝－，3a＞2c＞2b，求證：
(1)a＞0，且－3＜＜－；
(2)函數f(x)在區間(0,2)內至少有一個零點；
(3)設x₁，x₂是函數f(x)的兩個零點，則≤|x₁－x₂|＜.

Answer 1

（1）－3＜＜－（2）函數f(x)在區間(0,2)內至少有一個零點．（3）見解析

(1)由已知得f(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0，
又3a>2c>2b，∴a＞0，b＜0.
又2c＝－3a－2b，∴3a＞－3a－2b＞2b，
∵a＞0，∴－3＜＜－.
(2)由已知得f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c，
①當c＞0時，f(0)＝c＞0，f(1)＝－＜0，
∴函數f(x)在區間(0,1)內至少有一個零點；
②當c≤0時，f(1)＝－＜0，f(2)＝a－c＞0，
∴函數f(x)在區間(1,2)內至少有一個零點．
綜上所述，函數f(x)在區間(0,2)內至少有一個零點．
(3)∵x₁，x₂是函數f(x)的兩個零點，
∴x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝＝－－，
∴|x₁－x₂|＝＝，
∵－3＜＜－，∴≤|x₁－x₂|＜.