Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=2AB=2，且BC1⊥A1C．
（Ⅰ）求證：平面ABC1⊥平面A1C1CA；
（Ⅱ）設D是A1C1的中點，判斷并證明在線段BB1上是否存在點E，使DE∥平面ABC1；若存在，求三棱錐E﹣ABC1的體積．

Answer 1

【答案】證明：（I）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AA1⊥平面ABC．
∴AA1⊥AC，又AA1=AC，∴A1C⊥AC1 ．
又BC1⊥A1C，∴A1C⊥平面ABC1 ，
∵A1C平面A1C1CA，
∴平面ABC1⊥平面A1C1CA．
（II）解：取AA1中點F，連EF，FD，當E為B1B中點時，EF∥AB，DF∥AC1 ．
即平面EFD∥平面ABC1 ， 則有ED∥平面ABC1 ．
當E為中點時，V E﹣ABC1=VC1﹣ABE=x2xx1x1=．

【解析】（Ⅰ）證明平面ABC1⊥平面A1C，只需證明A1C⊥平面ABC1；
（Ⅱ）取AA1中點F，連EF，FD，證明平面EFD∥平面ABC1 ， 則有ED∥平面ABC1 ， 利用等體積轉換，可求三棱錐E﹣ABC1的體積．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．