Question

【題目】已知函數h（x）=﹣|x﹣3|．
（1）若h（x）﹣|x﹣2|≤n對任意的x＞0恒成立，求實數n的最小值；
（2）若函數f（x）= ，求函數g（x）=f（x）+h（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵h（x）﹣|x﹣2|≤n對任意的x＞0恒成立，等價于﹣|x﹣3|﹣|x﹣2|≤n對任意的x＞0恒成立，

等價于﹣n≤（|x﹣2|+|x﹣3|）min對任意的x＞0．

因為|x﹣2|+|x﹣3|≥|x﹣2﹣（x﹣3）|=1，當且僅當x∈[2，3]時取等號，所以﹣n≤1，得n≥﹣1．

所以實數n的最小值為﹣1．

（2）因為f（x）= ，g（x）=f（x）+h（x），

所以g（x）=f（x）﹣|x﹣3|= ，

當0＜x＜3時， =2 +2，

當x≥3時，x+3≥6．

綜上，g（x）≥2 +2．

所以函數g（x）=f（x）+h（x）的值域為[2 +2，+∞）．

【解析】(1)使用絕對值不等式求出的最小值為1，所以n的最小值為-1；（2）根據分段函數，寫出在不同區間的解析式，求出各段函數中的值域，綜上得出g（x）的值域.
【考點精析】本題主要考查了函數的值域的相關知識點，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的才能正確解答此題．